正五角形の秘密

正五角形関係をまとめてみました。

すうらくゆうの問題15(00/06/15 ) より
(1)AB=1のとき、対角線の長さを求めよ。

(2)星型の頂角和、∠A'+∠B'+∠C'+∠D'+∠E'は何度ですか?

(3)正五角形ABCDEと正五角形A'B'C'D'E'の面積比を求めよ。

解答へ


(航海日誌 00/06/18より)

Zさんから頂いた本で早速、正五角形に関するところを勉強しました。そのなかで非常に感心したものがありましたのでお披露目しましょう。

中学校の「技術」で正五角形の描き方を習った記憶がありますが忘れてしまいました。やはり、正五角形の特徴(辺と対角線の関係など)をつかんでいないとすぐに忘れてしまいますね。先日紹介しましたAkiさんの正五角形の描き方は辺や対角線の長さの関係を理解しながら描くことができます。描き方そのものを丸暗記をすればいいが、この丸暗記が難しい。

正五角形の描き方の簡単な方法があったのです。「丸暗記」できるようにYoshitaくんがちょっと工夫しました。「丸かいて、丸二つ(目が二つ)、大きな顔をかいて」という感じにしました。

正五角形の描き方(和算家 平野喜房の方法)

 

 円を一つ描く。円をもう一つ描く(目が二つ)。

 

 

  大きな円を描く(顔ができました)。線(たて、よこ、ななめ)を引く。

 

 

  最後にもう一つ円(大きな口)を描きます。ABが正五角形の一辺です。

 

 

いかがですか? 試してください。ちゃんと描けたでしょうか? 説明なし理屈ぬきの「丸暗記」用にしてしまいましたが、和算家平野喜房の方法いかがでしょうか? また、感想等を掲示板にどうぞ。また、「どうして、正五角形が描けるのか」もお考えください。


航海日誌 00/06/19

昨日の和算家平野喜房の正五角形についての感想が二つありました。


Yoshitaくんらしい書き方で、気に入りましたが、
どうして書けるのかはよくわかりません。
何かしながら、ゆっくり考えたいと思います。(あっこさん)

目が二つたてよこななめ口ひとつ なんてすばらしい描き方でしょう。 ほれぼれしてしまいます。 すごい!!!(村松さん)

目が二つたてよこななめ口ひとつというように覚えるといいですね。どうしてかについては後日にしましょう。ごゆっくりお考えください。考える楽しみを奪ってはいけませんので。

正五角形の問題を一つ出しましょう。

江戸時代の恋文に使われたという結びです。正五角形でこの「恋文」を扱わないのは片手落ちでしょう。

この恋文には次のように書かれていました。

「幅xの紙の結びからできる正五角形の1辺の長さyをxで表せ」と。

実際、こういう「恋文」(?)がきたらどうしましょう。喜んで解きますか? どうしてこういう問題を出すのかとその「心」を解きますか?


航海日誌 00/06/24

正五角形の「恋文」(00/06/19)の秘密を解いてみましょう。

時間はかかりましたが、図を描くのもなんとか様になってきました。下の図を見ながら理解をしてください。

2次方程式を2回解く必要があります。答えは、二重根号がでてきます。計算がちょっと面倒ですね。

正五角形の秘密は明日へと続きます。


航海日誌 00/06/25

正五角形の秘密の続きです。三角関数がでてきます。SIN,COSなんになるかです。

これで、SIN18°,COS18°,SIN36°が求まりました。なぜ、これらの三角関数の値を調べたかというと理由があります。というのは、半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが、となっているのです。

続きは明日とします。図を描くと意外に時間がかかります。数式も画像なのです。この画は、WINに標準装備されているPaintで描いています。使い慣れれば大抵のものが描けることが分かりました。ようやく「画」を描けるようになったのかな。HPを作り始めの頃「画」を描くことで苦労したことが随分ありました。

「すうらくゆう」を整理しました。問題一覧に「解答へ」を付けて、解答を問題別にしました。こちらの方も別解や感想や問題の応募などをどんどんしてくださいね。


航海日誌 00/06/26

半径1の円に内接する正五角形の1辺の長さを調べます。これにより正五角形の描き方の秘密がはっきりとします。

半径1の円に内接する正五角形の描き方(定番)

BはOAの中点です。BCを半径にしてDを求めます。CDの長さが正五角形の1辺の長さ(上の値)になります。

正五角形の描き方の秘密がようやく分かりました。いかがですか?

今回は、画像をGIF透過にしました。鶴原さんの指摘でその気になり、Zさんの送られてきたソフトで簡単に画像を背景と一体化することができました。見た感じがよくなったでしょうか?


航海日誌 00/06/27

06/18の航海日誌の「目が二つたてよこななめ口一つ」と覚える正五角形の描き方(=和算家平野喜房の方法)の秘密を解いて見ましょう。
06/25の日誌でのSIN18°の値を見てください。これで和算家平野喜房の方法の秘密が分かりました。

なぜ正五角形に拘っているのか?と自問してみるとナツツバキの花の正五角形(日誌(14)05/25)を発端としているようです。なんとか数理を追うことができました。久しぶりに数学の勉強をしてしまいました。これも次のような愛読者(?)のお陰です。

ふんふん。ホームページもだんだん進化してよかったね。
わけのわからないおばさんのおかげです。
それで、どうして、CDが、1辺の長さになるの?
それを詳しく説明すること! あしたまでの宿題です。

宿題まで出されてしまいました。数学なんかYoshita、Yoshitaですよー。尚、この宿題は昨日の日誌に挿入しましたよ。これでいかがですか?


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