ルーローの三角形の考察(中心の動きを早く知りたい方は下の方です。)


航海日誌 00/09/06

本日は、Craneさんの掲示板からの面白い話を材題にします。数学なんかヨシタヨシタ!です。

普通どんな図形でも回転させると円を描く。 ところが丸みを帯びた三角形(ルーローの三角形)を回転させると 四角い穴を開けることが出来る。ルーローの五角形では六角形の穴を・・・。: K(314) (2000/8/30/水/21/24)

マンホールのふたはなぜ丸い? 理由は円が定幅図形だからです。マンホールの穴に落そうとしても落ちませんね。正方形の蓋はどうでしょうか? 対角線が1番長いから対角線方向に蓋を傾ければ穴に落ちますね。長方形もそうです。ここで問題です。円以外の蓋は全部落てしまうのでしょうか?

実は、定幅図形はたくさんあるのです。有名なのは究極(?)のロータリーエンジン(現在、マツダのスポーツカーRX7)といわれるルーローの三角形です。図はCraneさんの掲示板にありました。

ルーローの三角形でマンホールの蓋を作ります。円と同じで落ちないのです。イメージできますか? 

Kさんが不思議に思っているようにルーローの三角形をドリルの刃にすると正方形の穴を掘ることができるのです。刃の中心はもちろん動きます。でも枠に支えられるので回転することができます。 ルーローの五角形の刃であれば、正六角形の穴を掘ることができるのです。回転すればたしかに円だが縁に沿って回転すると中心がずれるためなのです。

授業でグットタイミングよく「円の方程式」の導入に「ルーローの三角形」を持ちこんで「数楽遊」をしました。


航海日誌  00/09/07

Akiさんの作られたアニメーションは傑作である。 眺めていて厭きない。この妙な動きはなにか妖しく魅惑的である。中心の位置がずれながら四角の縁に沿って動いている。中心の動きはどうなっているのだろう。Akiさん、よろしかったら中心をつけてください。すると中心の動きが見えると思うのですが。

次の図を見てください。ルーローの三角形と円です。明らかに周の長さは等しいですね。ABを半径とし、角60°の扇形が3つの周の長さはπ×AB、円周は2π×AB/2=π×ABだから。ということはルーローの五角形、七角形でも周の長さは円周になっているということになります。周の長さは不変、一定になっていることになります。それとルーローは偶数の多角形ではありえません。それは明らかに正方形に弧をつけることができないことから分かります。

授業でルーローの話をしました。するとイギリスに留学していた生徒が50ペンソ(ペンス?)の硬貨を持っているという。変な形をしているなと思いながら使っていたそうです。この硬貨は七角形のルーロー(?)ようです。確認をするために持ってくるようにお願いし、もちろんYoshitaに頂戴とおねだりをしています。ついでにCraneさんやTさんの分と思いあるだけ持ってくるように頼みました。それと高専を中退した生徒が実際に四角い穴を掘るのを見たことがあるというではないか!旋盤があってコンピューターに数値を入れれば(多分中心の揺れ幅?)OKという。

生徒に話をすると思わぬ反響がありYoshitaくんは嬉しくなります。授業は連日ルーローの話で盛りあがっています。

盛りあがった授業のしめくくりに「年に2,3回しかできないようないい授業ができたな」というと即座に「先生! 年に2,3回ですか?」ときり返された。「今年は年5,6回になりそうだぞ!」とYoshitaくんも負けてはおれません。教室は爆笑の渦だった。


航海日誌  00/09/08

昨夜、西三数学サークルのHPが新装オープンしました。是非、感想等を掲示板に書きこんでください。

さて、次の画像をご覧ください。イギリスの硬貨です。生徒が忘れずに持ってきてくれました。左から20ペンソ、新50ペンソ、旧50ペンソです。いかがでしょうか? ルーローの七角形でしょうか? 

まずは、正七角形はどんな形かを確めましょう。是非数楽どん話「正多角形の変化」でお確めください。Yoshitaくんもさっき確めました。(自分で作ったJAVAが役に立ちました。これで2回目。)正七角形にしてはどことなく丸こいですね。判定は微妙ですね。手にして見ているのだけど・・・。正七角形はもっと角っぽい・・・。ここでYoshitaくんは「ルーローの七角形」と決断しょう! やはり、全体的な雰囲気がルーローのような感じであることがその理由としましょう。

ところで硬貨に多角形を使用しているの例は他にあるのでしょうか? イギリスのこの硬貨の形はやはりユニークさにおいて傑出しているのではないでしょうか? 正六角形でなく正七角形をあえて選んだというのも何かいわれがあるのでしょうか? 

生徒もイギリスで変な硬貨だなと思ったそうです。英語の先生にも聞いてみました。やはり、変わった形の硬貨として知っているとの返事でした。

五角形は自然界にたくさんあります。七角形はどうでしょうか? 何かありますか? 

ところで新500円硬貨は、ルーローの五角形に変更してくれないかな? 奇抜過ぎて駄目!ですかね。


航海日誌 00/09/09

昨日はサークルの日でした。もちろんCraneさんとも会いました。50ペンソをプレゼントするとコロにして違和感なく回るからルーローであることを実演してくれました。なるほど簡単な方法でした。

掲示板には、校長先生までが登場していましたね。結論は、丸こい四角というのが正解ですね。角が少し丸いということです。角がちょっぴり丸く全体的には四角という結論に達したようですね。だいたい図のような感じですか? これを四角の穴と認めるか、いやこれは角が完全でないから・・・。

 Yoshitaくんは充分にルーローの三角形で四角が彫れるといってもいいと思う。ドリルを回すと丸くほれるという常識を打ち破っているのではないでしょうか? いかがですか?


 航海日誌 00/09/15

本日は長いこと置き去りにしていた宿題をやりましょう。

Akiさんのこのアニメを眺めていると不思議な動きをしていますね。さて、三角形の中心(=重心G)はどんな動きをしているのか?
次の図を見てください。15度ずつ回転させました。重心Gを見てください。図が悪くて申し訳ありませんが、ルーローの三角形が時計回りに回るとなんとGは反対方向に回っています。ルーロの三角形が30度回転するとGは90度回っています。ここで、Gも円運動しているのかという疑問が起こってきます。

昨日、サークルの若きホープのToさんと検討しました。結果は驚くべきものでした。Gが90度回転するたびに2種類の楕円を張り合わせた形の軌跡になります。

本日はここまでにします。続きは明日にします。Toさんが昨日検討したことを整理していますので(=計算式がかなり複雑)乞うご期待を! もちろん図も綺麗に仕上がりますので楽しみにしてください。
余談になりますが、Toさんは『テフ』で美しい図を描いていました。簡単に描くことができるという。サークルでも以前Tさんが熱心に勧めていたのを思い出します。『テフ』の勉強を本腰始めなければと痛感しました。


航海日誌 00/09/16

昨日の続きです。ルーローの三角形の中心がどうのように動くのか? 

若きサークルのホープ鳥居さん(=Toさん)とその友人美濃輪智彦(広島大学院理学研究科数学専攻)さんとYoshitaで次のようにまとめてみました。ちょっと余談ですが、美濃輪さんはマツダのRX7に乗っているそうで「ルーローの三角形」の問題には俄然やるきがでたそうです。では、どうぞ。

これで中心の動きがはっきりとしました。いかがでしたか? (おわり)


掲示板の書きこみより

実験が大切 [投稿者:村松芳子 投稿日:2000/09/15(Fri) 11:21 ] こんにちは。 ルーローの三角形が回転すると四角形の穴が掘れるということは、重心の軌跡が四角形なのかしら? と作図も実験もしないで思いこむことにしていました。  今日の航海日誌の説明に驚いています。これからの日誌が楽しみです。  反省・・・実験をしなければいけませんね。


中心 [投稿者:Akko 投稿日:2000/09/16(Sat) 14:19 ] 外側のような角丸四角になるのかと思ってました。
ルーロー三角形の中心の軌跡
さすが Yoshita先生とそのお仲間達! こんな面倒な計算、私にはとてもやる元気がでません。 軌跡が円に近い形らしいとは感じていましたが、これで本当にスッキリしました。 ところで、ルーローのドリルの件はその後なにか判りましたか? 中心位置を拘束せずにただ回転させただけでは、出来上がる四角の穴の「角の方向」がどの様に決まるのか不安ですね。 [Name : aki(563) Mail : yasuoaki@be.mbn.or.jp (2000/9/16/土/10/05/茨城県/男性) ]
ルーロー[ 投稿者:Crane 投稿日:2000/09/17(Sun) 01:15 ] うん、こっちの方がすっきりしている。 一度話全体を整頓して「あとりえ」に運ぼう。 歯が面についている、と知って納得。 少し掘れはじめると、外周がガイドになって、重心が自動的にこの軌跡を描くようになる。 軸はたっぷり遊びを持って駆動する必要があるけどね。 それから、四隅はやっぱり掘れない。 「四隅が丸い正方形」だね、掘れるのは。 全体が右に一回転する間に、重心は逆方向に3回転する。 このままでエンジンを作っても、回転を取り出す事は困難。 やっぱり外周は正方形でなくて、トロコイド曲線にしないと、遊星ギアが取りつけられない。